Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若的极小值为，证明：当时，.（其中…为自然对数的底数）

Answer

（1）单调递减区间为；单调递增区间为（2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数，判断函数的单调性，可得结果.

（2）利用导数判断的单调性，计算，根据恒成立的条件，并使用（1）的条件以及比较法中的作差法，可得结果.

【解析】
（1）由题可知的定义域为，

，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

的单调递减区间为；

单调递增区间为.

（2）证明：，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

由题及（1）知，

，

，即.