Question

已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，E是中点，M是的中点，F是上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）直线与平面所成角的正切值为，当F是中点时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，推导出，，，由此能证明平面平面．

（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）连接，

底面为菱形，，是正三角形；

是中点，，

又，，

平面，平面，，

又，平面，

又平面，平面平面．

（2）由（1）得，，，两两垂直，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

平面，就是与平面所成的角，

在中，，即，

设，则，得，

又，设，则，

，从而，

则,

,，，，

设是平面的一个法向量，

则，取，得，

又平面，是平面的一个法向量，

设二面角的平面角为．

则．

二面角的余弦值为．