Question

已知椭圆的离心率为，且过点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足.

（i）试证的值为定值，并求出此定值；

（ii）试求四边形ABCD面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)为定值0；(ii)最大值为4．

【解析】

试题（Ⅰ）利用待定系数法进行求解；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用得出定值；利用弦长公式求弦长，即三角形的底边，再利用点到直线的距离公式求其高，进而得出面积，理基本不等式求其最值.

试题解析：（Ⅰ）由题意，，又，

解得,

椭圆的标准方程为.

（Ⅱ） (i) 直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0）时不满足

设直线AB的方程为，设

联立，得

(*)

整理得

所以为定值0.

(ii) 由(i),不妨取,则

设原点到直线AB的距离为d，则

当时(满足(*)式)取等号.

.

即四边形ABCD的面积的最大值为4.