Question

四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.过直线的平面与垂直，且与交于点，当三棱锥的体积最大时，四棱锥的外接球表面积为_______.

Answer

【解析】

以为原点建立空间直角坐标系，设，得到，利用得到和的关系，从而得到，再表示出，利用基本不等式得到最大值，从而得到的值，再求出外接球的半径，得到答案.

在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，所以，，，，，

因为点在上，所以设，

从而得到，

因为平面，平面，

所以，则，

即，化简得，

所以，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当体积取到最大值时，，

设其外接球的半径为，

则，即，

故外接球的表面积为.

故答案为：.