Question

如图1，在矩形中，已知，，点，分别在边，上，且，将梯形沿折起，使在平面上的射影恰好落在线段靠近的三等分点处，得到图2中的立体图形.

（1）（2）   

（1）在图2中，求证：平面；

（2）求二面角的大小.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据得面，根据得面，从而得到面，所以得到所以面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得到面的法向量为，的法向量为，根据向量夹角公式得到二面角的大小.

（1）证明：在梯形中，，

而面，面，

所以面，

在梯形中，，

而面，面，

所以面，

面，，

所以面面，

而面，

所以面；

（2）如图，过作，作，

以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

由题意可求得，，所以，

于是，又，

所以，，

设面的一个法向量为，

所以，则

令，得，

又知面的一个法向量为，

设面与面所成二面角的大小为，易知为锐角，

由（1）的证明可知面平面，

所以二面角，

则，

即二面角.