Question

已知椭圆的左焦点为，直线与圆交于，两点.

（1）若直线过点，且，求被椭圆所截得的弦的长度；

（2）若已知点在椭圆上，动点满足，请判断点与圆的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）；（2）点在圆上，理由见解析

【解析】

（1）根据圆的方程得到圆心坐标和半径，根据，得到圆心到距离等于的距离，从而得到，得到的方程，从而求出被椭圆所截得的弦长；（2）直线与圆联立，得到，，利用向量关系，得到的坐标，从而得到等于半径的平方，从而得到点在圆上.

（1）圆，

则圆心，半径为.

因为弦长，

由勾股定理可得到的距离为2，

而，所以，即，代

入椭圆方程得到，

所以被椭圆所截得的弦长为.

（2）点在圆上.

由

得.

设，，

则，

从而.

因为，

所以

，

又因为点在椭圆上，

所以.

则

.

所以，点在圆上.