Question

已知函数.

（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）已知，，是的三个零点，且.当时，求证：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求导得到，设，得到，从而得到的单调性和，根据有两个极值点，结合零点存在定理，得到的范围；（2）当时，可知单调递增，不符合题意，当时，得到，记，利用导数求出的单调性，从而确定的两根的范围，结合的范围，得到的范围，从而得证.

（1），

，

设

时，，所以单调递减，即单调递减；

时，，所以单调递增，即单调递增；

所以，

因为有两个极值点，所以

有两个解，

所以，即，

又因为和时，都有，

所以即为所求..

（2）证明：（ⅰ）当，由（1）可知

，

所以在上单调递增，

所以至多一个零点，与条件矛盾，

所以.

（ⅱ）当时，由（1）可知：，

时单调递增；

时单调递减.

因为，所以.

当时，由可得，

记，则、是的两根.

，

记，

则.

易知和时，都有，又，

所以在上单调递增..

又因为，

所以时，，

即，所以单调递减；

时，，

即，单调递增，

设的两根为

∵∴

∵∴.

当时，的两根、满足，

则，证毕.