Question

已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点

（1）求的解析式；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）或

【解析】

（1）计算周期得到，再代入点，计算得到答案.

（2）计算得到答案.

（3）根据平移和伸缩变换得到，，画出函数图像得到答案.

（1）图象与轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即，即；

∵，解得，那么．

∵．图象过点代入可求得，

∴解析式；

（2），是单调递增区间，

即，解得，

∴函数的单调递增区间为；

（3）；将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即

∵，∴

在上只有一个实数解，即图象与只有一个交点，

由的图象可知：实数的取值范围为或.