Question

已知函数满足：，．且时， ．

(1)若方程在时有解，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数使函数在上的最小值为？若存在，则求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

(1)利用待定系数法求出函数的解析式，结合方程有解进行转化求最值即可．

(2)求出函数的解析式，利用换元法结合一元二次函数的性质进行求解即可．

【解析】
(1)∵满足：，．
∴函数的对称轴为，
即，得，即，

，
若方程在时有解，
则即，在时有解，
∵在上递减，则上递增，
则，
即，得．
(2)由(1)知，，
∴
∵，∴．
设，则．
则等价为，
①若，，得，满足条件．
②若， ，解得，矛盾.

综上存在实数，使函数在上的最小值为．