Question

设，或，，．

从以下两个命题中任选一个进行证明：

当时函数恰有一个零点；

当时函数恰有一个零点；

如图所示当时如，与的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当时，与两个交点．

若方程恰有4个实数根，请结合的研究，指出实数k的取值范围不用证明．

Answer

（1）见解析； （2）见解析； （3）.

【解析】

由函数的零点及方程的根的关系得：当时，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数

由二次方程区间根的问题得：，由韦达定理得：，，所以，．

结合的研究，实数k的取值范围为：，得解

当时，，

令，解得：，

即函数恰有一个零点，且此零点为2，

证明：当时，，

令，解得：，

所以函数恰有一个零点，且此零点为，

，

所以，

又，

所以，

所以方程，有两个不等实数根，记为，，

由韦达定理得：，，所以，，

即，，

所以当时，与两个交点．

结合的研究，实数k的取值范围为：，

故答案为：．