Question

在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．

（1）求证：平面AEF⊥平面ACD；

（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

(1)证明,进而可得即可证明平面AEF⊥平面ACD

(2) 分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.

【解析】
（1）证明：因为,,

所以,因为,所以．

又因为,,

所以,而,

所以,又,

所以．

（2）【解析】
设直线与平面所成交的余弦值为．

连接,在中,,,

,所以,且,,

又因为,,,

所以,．在中,,,所以．

如图,以点为坐标原点,分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,各点坐标为,,,,

因为,为的中点,所以为的中点,即,

设平面的法向量,

,,

由,即,

整理得,令,得,,则．

因为,所以,

故直线与平面所成交的正弦值为．