Question

已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)设,根据题意可求得,再代入椭圆方程即可求解.

(2)根据(1)中的结论, 设直线,并联立与椭圆的方程,求得,,再表达出,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设表达出,利用满足椭圆的方程进行化简,同理可得m的值.

【解析】
（1）椭圆过点,∴,①

又因为直线的斜率之积为,故.

又.即,②

联立①②得．

∴所求的椭圆方程为．

（2）方法1：由（1）知,．由题意可设,

令x=m,得．又设

由整理得：．

∵,∴,,

所以,

∴,

要使与k无关,只需,此时恒等于4.

∴

方法2：:设,则,令x=m,得,

∴

由有,

所以,

要使与无关,只须,此时.

∴