已知函数，．证明：（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；（2）存...

已知函数，．证明：

（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；

（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<2．

（1）见解析（2）见解析【解析】 (1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可. (2)令,换元将m再构造函数,分析的单调性,结合(1)中的结论求得存在唯一的,使,再根据零点的大小关系即可证明. 证明：(1)当x∈（0,1）时,f′(x)＝＞0,函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0,f(1)＝3>0,所以存在唯一x0∈（0,1）,使f(x0)＝0． (2)当x∈（1,2）时,, 令,x=2-t,x∈（1,2）,t∈（0,1）, ,t∈（0,1）记函数,t∈（0,1）．则h′(t)＝．由(1)得,当t∈(0,x0)时,f(t)<0,h′(t)＞0, 当t∈(x0,1)时,f(t)>0,h′(t)<0．故在(0,x0)上h(t)是增函数,又h(0)＝0,从而可知当t∈(0,x0]时,h(t)>0,所以h(t)在(0,x0]上无零点．在(x0,1)上h(t)为减函数,由h(x0)>0,h(1)＝－ln2<0,知存在唯一t1∈(x0,1),使h(t1)＝0, 故存在唯一的t1∈(0,1),使h(t1)＝0．因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1,2),使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．因为当t∈(0,1)时,1＋t>0,故与g(2－t)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈（1,2）,使g(x1)＝0．因为x1＝2－t1,t1>x0,所以x0＋x1<2．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．