Question

已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1，设.

（1）求、的值；

（2）证明：函数在上是增函数；

（3）若函数，上能成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）根据二次函数的单调性求出， ，求出，的值即可；

（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；

（3）问题转化为在上有解，通过换元得到在上有解，求出的范围即可．

（1）∵，二次函数的对称轴为，

∴为上的增函数，

得，解得，.

（2），

设任意的且，

则

∵，∴，，

∴，，即，

∴为上的增函数.

（3）∵函数，上能成立，

即在有解，

整理得.

令，

∵，∴，

为上单调递增.

时，，时，，

所以的取值范围为.