Question

已知函数.

（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性.

（2）判断函数的单调性，并用定义证明. 

（3）解不等式.

Answer

（1）定义域为，奇函数，证明见解析（2）上的增函数，证明见解析（3）

【解析】

（1）根据函数定义域的求法，求得函数的定义域；通过证明证得为上的奇函数.

（2）通过函数单调性的定义，计算，由此证得在上递增.

（3）根据的单调性和奇偶性列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）由于恒成立，所以的定义域为.，，上下乘以得，所以为奇函数.

（2）任取，则，由于在上递增，，所以，所以，所以在上为增函数.

（3）由（1）（2）知是定义在上的奇函数且为增函数，所以由，得，即，解得，所以原不等式的解集为.