Question

已知函数.

（1）若存在奇函数和偶函数，使得，求的解析式.

（2）证明:当时，.

（3）若函数的最大值为，最小值为，求的值.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）2

【解析】

（1）根据、的奇偶性以及列方程组，解方程组求得的解析式.

（2）利用差比较法证得不等式成立.

（3）由（1）得，根据的单调性、奇偶性以及最值，求得的值.

，

（1）依题意为奇函数，为偶函数，且①，将代入上式得，即②，由①②得.

（2）当时，所以当时，.

（3）由（1）知，为奇函数，所以的最大值和最小值的和为，即，即，所以.