Question

设函数.

（Ⅰ）当,时,求的值域;

（Ⅱ）当时,若函数在内有且只有一个零点,求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）将,代入得，，

令，所以，

，由二次函数的性质即可求出；

（Ⅱ）先令，化简可得，再换元，令，所以依题有，直线与函数在上只有一个交点，在上无交点，然后根据二次函数的性质即可求出．

（Ⅰ）依题可得，，

令，即，

，在上单调递增，在上单调递减，所以，，．

故的值域为．

（Ⅱ），

即，

令，，所以．

因为函数在内有且只有一个零点，所以直线与函数在上只有一个交点，在上无交点．

设，

在上单调递减，在上递增，，所以．

故．