Question

已知二次函数满足

(1)求函数的解析式；

(2)令

若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；

求函数在的最小值.

Answer

（1）f（x）＝﹣x2+2x+15（2）①m≤0，或m≥2②见解析

【解析】

（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．

（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，

①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；

②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．

【解析】
（1）设f（x）＝ax2+bx+c，

∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，

∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1；

∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，

∴函数f（x）的表达式为f（x）＝﹣x2+2x+15；

（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，

①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；

②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x＝0时，函数g（x）取最小值﹣15；

当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x＝m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15；

当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x＝2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；

∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为