Question

已知函数是定义域为上的奇函数，且.

（1）用定义证明：函数在上是增函数；

（2）若实数t满足求实数t的范围.

Answer

（1）见解析（2）（0，）

【解析】

（1）由函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，求出b＝0，从而，利用定义法能证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

（2）推导出f（2t﹣1）＜f（1﹣t），由函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．

【解析】
（1）∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，

∴f（0）0，∴b＝0，

∴

任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）

，

∵a＞0，﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，

∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

（2）∵f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1），

∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．

∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t），

∵函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，

∴，

解得0＜t．

故实数t的范围是（0，）．