Question

已知指数函数的图象经过点，在区间的最小值；

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的最小值的表达式；

（3）是否存在同时满足以下条件:①；②当的定义域为时，值域为；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）设，由点在图象上，得出，求出的值，即可得出函数的解析式；

（2）利用换元法得出，讨论的取值，由二次函数的性质得出函数的最小值的表达式；

（3）当时，函数在上为减函数，由值域为，列出方程组，得出，由于，则不存在满足条件的的值.

（1）设，且

∵指数函数的图象经过点，∴，即，∴，

（2）令，∵

∴

∴，对称轴为

当时，在上为增函数，此时当时，

当时，在上为减函数，在上为增函数，此时当时，

当时，在上为减函数，此时当时，

∴.

（3）由（2）得时，在中为减函数，若此时值域为.则，即，即，与矛盾，故不存在满足条件的的值.