Question

已知函数.

（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

Answer

（1），（2）证明见解析

【解析】

（1）对任意，恒成立，可变形为，因此只要求得的最大值即可，这可由导数的知识求解；

（2）首先利用导数研究的单调性，确定零点分布，不妨设，得，然后用分析法转化所要证不等式为，由，这时以退为进，证明，即证，现在可构造函数，.证明，这又可用导数证明．

（1）【解析】
由对任意恒成立，得对任意恒成立.

令，则.

令，则.

在上，，单调递增；在上，，单调递减.

故，

则，即的取值范围为.

（2）证明：设，，则.

在上，，单调递增；在上，，单调递减.

∵，，当时，，且，

∴，.

要证，即证.

∵，，在上单调递减，

∴只需证明.

由，只需证明.

令，.

，

∵，∴，，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

即，∴.