Question

已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）将代入抛物线方程求出两点坐标，由三角形面积可求得，得抛物线方程；

（2）直接设直线的方程为，代入抛物线方程，设，，则可得，由焦点弦长公式得，同时可得中点坐标，写出中垂线方程，求出点坐标及，然后求比值可得．

（1）【解析】
将代入，得，

所以的面积为.

因为，所以，

故的方程为.

（2）证明：由题意设直线的方程为，

由，得.

设，，则，

所以.

因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，

所以线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以的横坐标为，

所以，

故为定值.