Question

设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.

（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.

（2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.

Answer

（1）在上，理由见解析，证明见解析，（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，可证在线段上，且平面，从而得到平面平面.

（2）设，可证，利用导数可求体积的最大值.

（1）证明：取的中点，连接，取点为的三等分点且，

连接.

因为，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，故.

因为为等腰直角三角形，为的中点，故，

因为，，

故，故，同理，

因为是等边三角形，故为的中心，故，

故为三棱锥的外接球的球心，

故与重合即在线段上且.

因为在上，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）由题意得，解得，

因为为等腰直角三角形，为的中点，故，

而平面平面，平面平面，

平面，故平面，故为点到平面的距离.

在等腰直角三角形中，即到平面的距离.

设，到平面的距离为.

因为平面平面，平面平面，平面平面，

故，同理，因为方向相同，故，

同理，

所以，则的面积为.

又，所以到平面的距离为，

所以四面体的体积.

设，，

当时，；当时，.

所以在为增函数，在为减函数，

所以，

即四面体的体积的最大值为.