Question

已知多面体中，为矩形，平面，，且，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析过程；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，利用平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求解即可.

（1）连接交于点，因为是矩形，所以是的中点，连接.

因为，且，所以四边形是平行四边形，又因为是的中点，点为的中点，所以四边形是平利四边形，因此有，

又因为平面，而平面，因此有平面；

（2）以为空间直角坐标系的坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

设平面和平面的一个法向量分别为：

，所以；

，所以，

，

所以二面角的平面角的正弦值为：.