在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周...

在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为8，面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

（1）；（2）是定值，值为. 【解析】（1）根据椭圆的定义，结合的周长为8，求出的值，设出点的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，面积的最大值为.可以求出的关系，进而求出的值，最后求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出点坐标，同理求出的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线和直线的斜率之积是定值. （1）因为的周长为8，所以有设，因为面积的最大值为.所以的最大值为，由椭圆的范围，当时，面积最大，因此有，而，因为，所以，所以椭圆标准方程为：；（2）当不是椭圆的顶点时，因此. 直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，，，同理直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，，为定值.

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考点分析：

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九龙坡区围绕大力发展高新技术产业、推进高质量城市管理、创造高品质人民生活，建设宜居、宜业、宜游的“三高九龙坡、三宜山水城”的总愿景，全面开启新时代的新梦想、新征程.热心网友“我是坡民”通过问卷，对近五年游客满意度排在前三名的区内景点进行了统计，结果如表一.根据此表，他又对游览过热门景点重庆动物园的100名游客进行满意度调查，给景点打分，满分为100分，得分超过90分的为“特别满意”，其余为“基本满意”，将受调查游客年龄为12岁及以下的人群称为儿童，得到列联表，如表二：

表一：

年份景点排名	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年
1	重庆动物园	重庆动物园	龙门阵景区	彩云湖	彩云湖
2	华岩景区	华岩景区	重庆动物园龙	龙门阵景区	黄桷坪涂鸦街
3	巴国城	海兰云天	黄桷坪涂鸦街	华岩景区	重庆动物园