Question

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）直线和曲线交于两点，点的直角坐标为，求的最大值.

Answer

（1）：x2+y2﹣4y＝0，：；（2）

【解析】

（1）把＝4sinθ两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．

（1）由＝4sinθ，得2＝4ρsinθ，∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．

当a＝时，直线过定点（2，3），斜率k＝﹣．

∴直线的普通方程为y﹣3＝﹣，即；

（2）把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y＝0，

得t2+（2sina+4cosa）t+1＝0．设的参数分别为t1，t2.

所以t1+t2＝﹣（2sina+4cosa），t1t2＝1，则t1与t2同号且小于0，

由△＝（2sina+4cosa）2﹣4＞0，得2sina+4cosa＜﹣2或2sina+4cosa＞2．

∴|PA|+|PB|＝﹣（t1+t2）＝2sina+4cosa＝（tanθ＝2）．

∴|PA|+|PB|的最大值为．