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已知函数,. (1)恒成立的实数的最大值; (2)设,,且满足,求证:.

已知函数.

(1)恒成立的实数的最大值

(2)设,且满足,求证:.

 

(1);(2)见解析 【解析】 (1)化为分段函数,根据函数单调性即可求出函数的最小值,即可求出的值, (2)由m>0,n>0,且,即:,化简≥2|m+2n|,由2|m+2n|=2(m+2n)=2(m+2n)()4即可证得. (1)已知函数,.由题意得,恒成立, 即h(x)==2|x﹣1|﹣|x+1|=, 显然,h(x)在(﹣∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(1)=﹣2,∴t﹣2,即最大值=-2. (2)由于m>0,n>0,且,即:, =+=2(|m+1|+|2n﹣1|)≥2|m+2n|, ∴2|m+2n|=2(m+2n)=2(m+2n)(), 当且仅当,即当n=,m=时取“=”, 故
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考点分析:
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在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,为直线的倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的直角坐标方程,并求时直线的普通方程;

(2)直线和曲线交于两点,点的直角坐标为,求的最大值.

 

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已知函数为自然对数的底数,.

1)讨论函数的单调性;

2)当时,求使得恒成立的最小整数.

 

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在椭圆上任取一点不为长轴端点),连结,并延长与椭圆分别交于点两点,已知的周长为8面积的最大值为.

1)求椭圆的方程;

2)设坐标原点为,当不是椭圆的顶点时,直线和直线的斜率之积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由.

 

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九龙坡区围绕大力发展高新技术产业、推进高质量城市管理、创造高品质人民生活,建设宜居、宜业、宜游的“三高九龙坡、三宜山水城”的总愿景,全面开启新时代的新梦想、新征程.热心网友“我是坡民”通过问卷,对近五年游客满意度排在前三名的区内景点进行了统计,结果如表一.根据此表,他又对游览过热门景点重庆动物园的100名游客进行满意度调查,给景点打分,满分为100分,得分超过90分的为“特别满意”,其余为“基本满意”,将受调查游客年龄为12岁及以下的人群称为儿童,得到列联表,如表二:

表一:

年份景点排名

2014

2015

2016

2017

2018

1

重庆动物园

重庆动物园

龙门阵景区

彩云湖

彩云湖

2

华岩景区

华岩景区

重庆动物园龙

龙门阵景区

黄桷坪涂鸦街

3

巴国城

海兰云天

黄桷坪涂鸦街

华岩景区

重庆动物园

 

 

表二:

 

特别满意

基本满意

合计

儿童

40

 

 

非儿童

 

30

 

合计

60

 

100

 

 

1)完成表二的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为调查对象是否“特别满意”与是否是儿童有关;

2)为安排节假日出行,“我是坡民”从表一的5个年份中随机选择2个年份,再从这2个年份排名前三的景点中任意选择1个景点,记选择出的景点中“重庆动物园”出现的次数为,求的分布列及数学期望.

参考公式.

参考数据:.

 

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已知多面体中,为矩形,平面,且,点的中点.

1)求证:平面

2)求二面角的平面角的正弦值.

 

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