Question

已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

Answer

（1）见解析（2）见解析.

【解析】

（1）求导得到导函数后，分别在和两种情况下，讨论导函数的正负，由此得到原函数的单调性；

（2）根据（1）中结论，可知，由此可将不等式转化为，即证，令，构造函数，利用导数可求得单调性，得到，进而证得结论.

（1）由题意得：定义域为

当时，在上恒成立 在上单调递增

当时，若，，则单调递增；

若，，则单调递减

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，上单调递减

要证

只要证，，即证：

令，即证：在上成立

令，即证：

当时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

即当时，