Question

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.

（1）求证：；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由此可得出平面，进而得出；

（2）设，可得出，，由（1）可知，与平面所成的角为，可得，进而以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的大小.

（1）四边形为矩形，则，

平面平面，平面平面，平面，

所以面，平面，，

又，为中点，，

，平面，

平面，故；

（2）不妨设，由得，由（1）得，∴，∴，由（1）得平面，

由（1）知，在平面的射影为，即，

，故.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

易得、、、，,

，，，

设平面与平面的法向量分别为和，

则，

由，令，则，，，

，设二面角的大小为，则，所以二面角的大小