Question

已知定点，圆，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由中垂线的性质得，可得出，符合椭圆的定义，可知曲线是以、为焦点的椭圆，由此可得出曲线的方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，同理得出，并计算出两平行直线、的距离，可得出四边形的面积关于的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形面积的最大值.

（1）由中垂线的性质得，，

所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，

设曲线的方程为，则，，

因此，曲线的方程为:；

（2）由题意，可设的方程为，

联立方程得，

设、，则由根与系数关系有，

所以，

同理，与的距离为，

所以，四边形的面积为，

令，则，得，

由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，

所以，函数在上为减函数，

当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.