Question

小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，年月日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为、、、，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测.现用、、、表示某网友对实际名次为、、、的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述.

（1）求的分布列及数学期望；

（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）.

Answer

（1）分布列见解析，的数学期望为；（2）.

【解析】

（1）列举出所有的事件，求出对应的的值，利用古典概型的概率公式可计算出在相应取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列，并根据分布列可计算出随机变量的数学期望；

（2）由（1）中分布列的数据可知，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求概率.

（1）以为一个基本事件，如下表所示：

所以，的可能取值集合为.

分布列如下表所示：

因此，；

（2）因为，

将三人评分后都有的概率记作，由上述结果的独立性得.