Question

已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）证法一：令，利用导数求出函数的最小值为（其中为函数的极小值点），然后利用基本不等式即可得出证明；

证法二：先证明成立，再证明出不等式，利用不等式的基本性质可得出；

（2）令，得出，等式两边取对数得，构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最小值，对函数最小值的符号进行分类讨论，由此可得出函数的零点个数.

（1）证法一：令，，

，所以，函数在上单调递增，

，，，

存在，使，则，可得，

由于函数在上单调递增，

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，故原不等式成立；

证法二：先证明不等式，构造函数，其中，

则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，则，.

同理可证，，则，

即；

（2）令，得，两边取对数得，

令，则，令得.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

.

①当时，即得时，，函数无零点；

②当时，即得时，，函数有个零点；

③当时，即得时，

当时，；当时，.

此时，函数在区间和区间上各有个零点.

则函数有个零点.

综上所述，当时，函数无零点；当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.