Question

已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：.

Answer

（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求导数，再根据讨论导函数符号变化情况，最后根据导函数符号变化情况确定极值；

（2）先放缩转化证，利用导数研究单调性，再根据单调性确定其最小值，最后根据基本不等式证得结论.

（1），

当时，在R单调递减，则无极值.

当时，令得，得，得，

在上单调递减，单调递增，的极小值为，无极大值，

综上：当时，无极值.

当时，的极小值为，无极大值；

（2）当时，，

令，转化证明

，所以在为增函数，

因为

所以，使得

因此函数在上单减函数，在上单增函数，

所以，

因此.