Question

已知圆的圆心在直线.

(1)若圆与轴的正半轴相切,且该圆截轴所得弦的长为,求圆的标准方程;

(2)在(1)的条件下,直线与圆交于两点,,若以为直径的圆过坐标原点,求实数的值;

(3)已知点,圆的半径为3,且圆心在第一象限,若圆上存在点,使(为坐标原点),求圆心的纵坐标的取值范围.

Answer

(1);(2);(3).

【解析】

（1）设出圆心坐标，根据圆与轴正半轴相切以及该圆截轴所得弦的长，求得圆的圆心和半径，由此求得圆的方程.

（2）联立直线的方程和圆的方程，写出判别式和韦达定理，结合圆的几何性质有，化简此方程求得的值.

（3）设，根据求得的轨迹方程，将问题转化为两个圆有公共点的问题来求解出圆心的纵坐标的取值范围.

(1)因为圆的圆心在直线上,所以可设圆心为.

因为圆与轴的正半轴相切,所以,半径.

又因为该圆截轴所得弦的长为,

所以,解得.

因此,圆心为,半径.

所以圆的标准方程为.

(2)由消去,得.

整理得. (★)

由,得, (※)

设,,则,,

因为以为直径的圆过原点,可知,的斜率都存在,且,

整理得,即.

化简得,即.

整理得.解得.

当时,,. ③

由③,得,从而,

可见,时满足不等式(※).均符合要求.

(3)圆的半径为3,设圆的圆心为,

由题意,,则圆的方程为.

又因为,,

设点的坐标为,则,

整理得.

它表示以为圆心,2为半径的圆,记为圆.

由题意可知,点既在圆上又在圆上,即圆和圆有公共点.

所以,且.

即,且.

所以,即,解得.

所以圆心的纵坐标的取值范围是.