Question

已知集合

(1)当时,求集合中的所有正整数元素;

(2)求证:对于任意的;

(3)若,求证:.

Answer

(1);(2)证明见详解;(3) 证明见详解.

【解析】

(1)代入时, 整理得,即可得出集合中的所有正整数的元素为;

(2)利用根的判别式得出方程有解,则成立;

(3)根据(2)知,方程有两根,设,又因为,则,再根据两根之积小于,得出①,当时, 解得,两者矛盾,则,所以成立.

解: (1) 已知集合,

当时, ,

所以集合中的所有正整数的元素为;

(2)证明:对于任意的

,

所以有解,

成立

(3)证明:由(2)知,方程有两根,

设,

又因为,则,则

两根之和,则,即①,

当时, ,则与①矛盾,

则,成立.