Question

己知抛物线的顶点为,与轴的交点为,则直线称为抛物线的伴随直线.

(1)求抛物线的伴随直线的表达式;

(2)已知抛物线的伴随直线为,且该抛物线与轴有两个不同的公共点,求的取值范围.

(3)已知,若抛物线的伴随直线为,且该抛物线与线段恰有1个公共点,求的取值范围(直接写出答案即可)

Answer

(1);(2);(3) 或.

【解析】

(1)先求抛物线的顶点为,再与抛物线轴的交点为,根据截距式即可得出伴随直线方程.

(2)先求抛物线的顶点,与轴的交点为,将代入伴随直线方程,解得,,再根据该抛物线与轴有两个不同的公共点,用根的判别式列不等式,解得,结合,即可得出的取值范围.

(3)根据抛物线的伴随直线为,将抛物线化为,又因为该抛物线与线段恰有1个公共点,即则 或,代入数据求解即可.

解: (1)的顶点为,

与抛物线轴的交点为,

直线:,即,

所以抛物线的伴随直线为: .

(2)已知抛物线的伴随直线为,

顶点为,与轴的交点为,

在直线上,

所以,解得,

又因该抛物线与轴有两个不同的公共点,

,所以,解得,

又因为,故且.

所以的取值范围为.

(3)因为抛物线的伴随直线为,

顶点,与轴的交点为,

,解得:,

所以抛物线可表示为: ,对称轴为

又因为,

且该抛物线与线段恰有1个公共点

线段为:.

则 或

解得或 ,.

所以可得的取值范围为或.