Question

已知函数（）.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．

【解析】
（1）由题意可得的定义域为，

当时，易知

∴由得，由得，

∴在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可得，

当时，，

记，则，

∵在内有两个极值点，

∴在内有两个零点，

∴.

令，则，

当，即时，，所以在上单调递减，

的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.

当，即时，在上，单调递增，

的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.

当，即时，在上单调递增，在上单调递减

由知，要使在内有两个零点，必须满足，解得.

综上，实数a的取值范围是.