Question

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点.

（I）求证：// 平面；

（II）若平面平面，，    求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

（I）连接BD交AC于点F，再连接EF，利用EF是三角形DBS的中位线，判断出DS平行EF，再利用线面平行的判定得证;

（II）取AB的中点为O，利用已知条件证明DO、SO、BO两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量，再利用线面角的公式求出直线与平面所成角的正弦值.

（I）证明：连接BD角AC于点F，再连接EF.

因为四边形是菱形，所以点F是BD的中点，

又因为点是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，

所以DS平行EF，

又因为EF平面ACE，SD平面ACE

所以// 平面

（II）因为四边形是菱形，，所以

又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形.

取AB的中点O，连接SO，则DOAB

因为平面平面，平面平面=AB

所以DO平面ABS，又因为三角形ABS为正三角形

则以O为坐标原点建立坐标系

设AB=2a，则

设平面ADS的一个法向量为

则

取x=1，则

所以

设直线AC与平面ADS所成角为

则