Question

已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题（1） 根据抛物线的定义知，，

∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果.

试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，

∵，

∴，

∴．

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，

∵，即，

∴，即，

∴，

∴，，

，

，

∴，

令，，则．

【方法点晴】

本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.