Question

已知函数（kR），且满足f（﹣1）=f（1）．

（1）求k的值；

（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；

（3）若函数，x[0，log₂3]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）（﹣∞，0]（3）存在m=﹣1得h（x）最小值为0

【解析】

(1)化简f（﹣1）=f（1）,即得k的值；(2)先化简方程，再研究函数单调性，最后根据单调性求函数值域即得a的取值范围； (3)先化简函数h（x）=4x+m×2x，再换元转化为二次函数,最后根据二次函数性质求最小值,由最小值为0解得结果.

【解析】
（1）∵f（﹣1）=f（1），

即∴

（2）由题意知方程即方程无解，

令，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点

∵

任取x1、x2R，且x1＜x2，则，

∴．∴，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．

∵，∴．

∴a的取值范围是（﹣∞，0]．

（3）由题意h（x）=4x+m×2x，x [0，log23]，

令t=2x [1，3]，φ（t）=t2+mt，t [1，3]，

∵开口向上，对称轴．

当，，m=﹣1

当，，m=0（舍去）

当，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）

∴存在m=﹣1得h（x）最小值为0