Question

已知为奇函数，为偶函数，且.

（1）求及的解析式及定义域；

（2）如函数在区间上为单调函数，求实数的范围.

（3）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）或；（3）.

【解析】试题

（1）依题意，由 ，即可求得 及解析式；（2）因为 ,所以 ,由二次函数的性质可知，要使函数 在区间 上为单调函数,，只要 或即可，由此即可求出结果；（3）因为，所以，然后再进行换元，令， 因为的定义域为，，可得，则，由于关于的方程有解，则，由此即可求出结果.

试题解析：（1）因为是奇函数，是偶函数，

所以，，

，①

令取代入上式得，

即，②

联立①②可得，，

.

（2）因为，

所以，

因为函数在区间上为单调函数，

所以或，

所以所求实数的取值范围为：或.

（3）因为，

所以，

设，

则 ，

因为的定义域为， ，

所以，，

即，则 ，

因为关于的方程有解，则，

故的取值范围为 .