Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分别是PC、AD中点，

(1)求证：DE//平面PFB；

(2)求PB与面PCD所成角的正切值．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取PB的中点G，连接EG，FG，通过证明四边形FGED是平行四边形，得ED//GF，进而可以得到DE//面PFB；

（2）先由条件求出∠BPC就是PB与面PCD所成的角，再通过求三角形边长即可得到结论

（1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图，

E，G分别是PC，PB的中点，

FG//BC且FG=BC，又DF//BC且DF=BC

FG//DF且FG=DF，

四边形FGED是平行四边形，

则DE//GF，又DE面PFB，GF面PFB，

DE//面PFB

（2）由已知得：PD⊥面ABCD

∴PD⊥BC

∵ABCD是正方形

∴BC⊥CD

又PD∩CD＝D

∴BC⊥面PCD

∴PB在面PCD内的射影是PC

∴∠BPC就是PB与面PCD所成的角．

设PD＝DC＝a，则PC＝

∴在△PBC中，∠PCB＝90°，PC＝，BC＝a

∴tan∠BPC＝

∴PC与面PCD所成角的正切值为