Question

已知是函数的零点，.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)．

【解析】

Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可．

Ⅰ是函数的零点，

，得；

Ⅱ，，

则不等式在上恒成立，

等价为，

，

同时除以，得，

令，则，

，，

故的最小值为0，

则，即实数k的取值范围；

Ⅲ原方程等价为，

，

两边同乘以得，

此方程有三个不同的实数解，

令，则，

则，

得或，

当时，，得，

当，要使方程有三个不同的实数解，

则必须有有两个解，

则，得．