Question

设函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.

Answer

（1）；（2）函数在上存在零点，证明见解析.

【解析】

（1）求导，求出，即可求解；

（2）根据的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.

函数的定义域为.

（1）当时，，

又，切点坐标为，切线斜率为，

所以切线方程为；

（2）当时，，

所以在上单调递减，

当时，，

又

，

所以函数在上存在零点.