Question

已知函数有两个极值点，，其中.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，由题意可得程有两个不相等的正根，，利用根与系数的关系即可求解.

（2）结合（Ⅰ）可得，令，不妨设，求出函数的单调性，结合 ，求出的最小值即可.

（Ⅰ）依题意得的定义域为，，

因为函数有两个极值点，，，

所以方程有两个不相等的正根，，，

所以，

解得，

此时在和上单调递增，在上单调递减，

所以实数的取值范围是.

（Ⅱ）因为，是方程的两个根，

所以，，

因为，，

所以，，

所以

.

令，，则

，

即在上单调递减.

因为，所以，

所以，即，

所以，即，

所以，，

所以.

因为在上单调递减，

所以的最小值为，

即的最小值为.