Question

设函数，其中为正实数.

(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)当时，证明.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

(1)讨论研究函数的单调性，求出函数在上的最大值．要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出．

(2)将原不等式等价变形为，由(1)可知，试证在时恒成立，即可由不等式性质证出．

（1）由题意得

设，则，

①当时，即时， ，

所以函数在上单调递增，，满足题意；

②当时，即时，则的图象的对称轴

因为，

所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，不合题意．

综上可得，实数的取值范围是．

（2）等价于

因为，所以，所以原不等式等价于，

由(1)知当时，在上恒成立，整理得

令，则，

所以函数在区间上单调递增，

所以，即在上恒成立.

所以，当时，恒有，