Question

已知函数在上的最大值为．

（1）求的值；

（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)求导后利用可得导函数的正负与原函数的单调性,再利用最大值为进行求解即可.

(2)求导分析单调性后,根据零点存在定理求解的正负即可.

（1）,

因为,所以,又,

所以,即．

当时,,所以在区间上递增,

所以,解得．

当时,,所以在区间上递减,

所以,不合题意．

当,,不合题意．

综上,.

（2）设,

则,

所以在上单调递减,又,

所以存在唯一的,使得

当时,,即,所以上单调递增；当时,,即,所以上单调递减

又,

所以在与上各有一个零点,

综上,函数在区间上有且仅有两个零点.