Question

已知函数，.

（1）求函数的单调区间和函数的最值；

（2）已知关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）答案不唯一，见解析；（2）

【解析】

（1）求导后，分和两种情况考虑的单调性；利用导数求的极值即可；

（2）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，设，利用导数研究的单调性以及最值，从而可得到结论.

（1）因为，∴.

当，即时，恒成立，在区间上单调递增.

当，即时，令，则或，单调递增；令，则，单调递减.

综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

因为，（）

所以，所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以，无最大值.

（2）对任意的恒成立，

即对任意的恒成立.

令，，则.

当时，因为，所以，所以，在区间上单调递减.所以，符合题意.

当时，令，得，令，得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以

由（1）知，即在上恒成立，不符合题意.

综上，实数的取值范围为