Question

（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（1）长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40；（2）长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81

【解析】

（1）方法一，设长和宽两个变量，然后利用基本不等式求得周长的最小值，以及此时长、宽分别是多少.方法二，设长为，宽为，然后利用基本不等式求得周长的最小值，以及此时长、宽分别是多少.

（2）方法一，设长和宽两个变量，然后利用基本不等式求得面积的最大值，以及此时长、宽分别是多少.方法二，设长为，宽为，然后利用基本不等式求得面积的最大值，以及此时长、宽分别是多少.

法一：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得．

因为，所以，所以．

当且仅当时，等号成立，由可知此时．

因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．

（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得，即．

因为，所以，因此，即．当且仅当时，等号成立，

由可知此时．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．

法二：也可用如下方法求最值：

（1）设矩形的长为x，则宽为，则矩形的周长．

当且仅当，即时，等号成立．

（2）设矩形的长为x，则宽为，则矩形的面积．

当且仅当，即时，等号成立．