Question

某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中，）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．

（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer

（1）；（2）投入1万元时，厂家的利润最大

【解析】

（1）用定价乘以销售量，减去促销费和成本，化简后求得关于的函数表达式.

（2）化简（1）中求得的函数表达式，利用基本不等式，求得的最大值，以及此时对应的的值.

（1）由题意，得，

将代入化简，得．

（2），当且仅当，即

（满足）时，上式取等号．故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大